EVENTO

SEMINARIO

Quando $\aleph_\omega$ è un potente grande cardinale (generico)

Vincenzo Dimonte

Kurt Gödel Research Center di Vienna

Abstract
I grandi cardinali, nonostante le loro potenzialità, hanno unproblema: coinvolgono strutture molto grandi, decisamente al di là di qualsiasi oggetto usato nella matematica mainstream. È diventata dunque pratica comune usare i grandi cardinali generici: "gemelli virtuali" dei grandi cardinali, frutto di un matrimonio fra questi e le tecniche diforcing, hanno il vantaggio di coinvolgere cardinali in finiti molto piccoli, eppure con molte delle stesse proprietà combinatoriche, specialmente di riflessione (un risultato per tutti: la consistenzadell'Assioma di Determinatezza). Ci si può chiedere dunque cosa accade se si spingono i grandi cardinali generici al massimo, considerando lavariante generica dei grandi cardinali più forti, come I0. I primirisultati sono sorprendenti: un $\aleph_\omega$ I0-generico implica una grandezza smisurata del suo insieme potenza dentro un modello di ZF senza Assioma di Scelta, superando di gran lunga il limite che l'Assioma di Scelta e la teoria pcf impongono.