Progetto Intergruppo GNAMPA-GNFM

Lorenzo Freddi (responsabile), Università di Udine, (GNAMPA)
Elena Benvenuti, Università di Ferrara, (GNFM)
Elio Cabib, Università di Udine, (GNAMPA)
Cesare Davini, Università di Udine, (GNFM)
Luca Deseri, Università di Ferrara, (GNFM)
Antonio De Simone, SISSA, (GNFM)
Maria Giovanna Mora, SISSA, (GNAMPA)
Roberto Paroni, Università di Sassari, (GNFM)
Danilo Percivale, Università di Genova, (GNAMPA)
Raffaella Rizzoni, Università di Ferrara, (GNFM)
Margherita Solci, Università di Sassari, (GNAMPA)
Rodica Toader, Università di Udine, (GNAMPA)
Franco Tomarelli, Politecnico di Milano, (GNAMPA)

Descrizione della ricerca

In ingegneria strutturale molto spesso si studiano strutture tridimensionali “sottili”, in cui cioè una o più dimensioni sono trascurabili rispetto alle altre. Queste strutture vengono modellate da problemi mono o bi-dimensionali ottenuti facendo opportune considerazioni meccaniche e la cui validità è confermata sperimentalmente. Per ottenerne di alternativi o per giustificare matematicamente e rigorosamente quelli esistenti sono utilizzabili tecniche proprie dell’analisi matematica come la teoria della Γ-convergenza.

Questi problemi sono anche uno stimolo per lo sviluppo della Γ-convergenza, come lo sono ad esempio la teoria dell'omogeneizzazione, e i problemi di controllo ottimo tra cui quelli di forma ottimale e di segmentazione e ricostruzione di immagini.

In questo spirito di interdisciplinarità, che non solo mira alla risoluzione di problemi meccanici ma anche allo sviluppo dei metodi matematici per affrontarli, si è inteso partire con lo studio dei seguenti problemi:

1) Travi in parete sottile
2) Travi con intaglio
3) Travi elastiche martensitiche
4) Film sottili martensitici
5) Film sottili di materiale ferromagnetico dolce
6) Film sottili periodici di materiale auto-assemblante
7) Micromembrane lipidiche multistrato
8) Piastrine multistrato con tensione residua
9) Danneggiamento di strutture elastiche: fratture e snervamento plastico
10) Evoluzione quasi-statica di fratture in materiali elasto-plastici
11) Discreto-continuo: modellazione comportamento plastico
12) Approssimazioni numeriche in problemi con discontinuità libere

Di seguito diamo una breve descrizione dei problemi sopra elencati.

Travi in parete sottile

La teoria di Saint-Venant per le travi prevede un ingobbamento costante di tutte le sezioni. Questa teoria viene, nella pratica professionale, applicata anche a casi di torsione non-uniforme. In queste circostanze le sezioni s’ingobbano in maniera diversa e quindi nascono, all’interno della trave, anche degli sforzi assiali. Questi sforzi risultano trascurabili per le cosiddette travi a sezione compatta, mentre giocano un ruolo importante nelle travi in parete sottile. Una teoria delle travi in parete sottile fu sviluppata da Vlasov nel 1961. Questa descrive l’interazione tra comportamento assiale, flessionale e torcente. Recentemente, diverse giustificazioni, basate sulla teoria della Γ-convergenza sono state date per le travi a sezione compatta da Anzellotti, Baldo e Percivale in “Dimension reduction in variational problems, asymptotic development in Γ-convergence and thin structures in elasticity” Asymptotic Anal., 9 (1994), 61-100], e da Percivale in “Thin elastic beams: the variational approach to St. Venant's problem”, Asymptotic Anal., 20 (1999), 39-59. Le sezioni in parete sottile sono state invece studiate da Morassi in “Torsion of thin tubes: a justification of some classical results”, J. Elasticity, 39 (1995), 213-227. In questo lavoro però non si tiene conto dell’ingobbamento non-uniforme e quindi degli sforzi assiali che s’instaurano nella trave (nella figura a destra è schematizzato l’ingobbamento fuoripiano della sezione nella deformazione di una trave ad H). Il problema che ci siamo proposti di studiare è quello di dedurre una teoria per le travi a parete sottile a partire dalla teoria dell’elasticità. Questo è un problema a doppia scala: un primo parametro rappresenta il diametro della sezione, e un secondo parametro rappresenta lo spessore della parete. Siamo partiti considerando la sezione più semplice, ovvero la sezione rettangolare, quindi una sezione aperta multi-rettangolare con l’obiettivo di affrontare poi la generica sezione aperta ed infine le sezioni chiuse. Per ciascuna di queste sezioni è necessario dimostrare un’opportuna diseguaglianza di Korn in cui la costante non dipende né dal diametro della sezione né dallo spessore della parete.

Principali risultati ottenuti. Freddi, Morassi e Paroni hanno affrontato anzitutto il caso di una trave a sezione rettangolare in "Thin-walled beams: the case of the rectangular cross-section" Journal of Elasticity, 76 (2004) 45–66. E’ stato affrontato e completamente risolto anche il caso di una trave a sezione aperta multi-rettangolare e i risultati ottenuti, oggetto di un lavoro sottomesso per la pubbllicazione, sono già stati presentati in diversi convegni nazionali e internazionali.

Travi con intaglio

La presenza di intagli in travi sottili ne altera il comportamento strutturale. Partendo dall’elasticità lineare tridimensionale in [Cabib, Freddi, Morassi, Percivale, “Thin Notched Beams”, Journal of Elasticity, 64 (2001) n.2-3, 157-178 (2002)] è stato recentemente derivato mediante Γ-convergenza un modello variazionale unidimensionale che comprende questo tipo di problemi nel caso in cui la struttura elastica sia soggetta a forze distribuite agenti lungo l’asse longitudinale. Si suppone cioè che la trave sia soggetta a trazione. L’energia limite, definita sullo spazio delle funzioni a variazione limitata, consente discontinuità negli spostamenti i cui salti sono dovuti a rigidezze concentrate, descritte dalle derivate distribuzionali degli spostamenti, che sono misure a variazione limitata. È ancora aperto il problema dell’identificazione dell’energia limite nel caso in cui la trave sia sottoposta a flessione e/o a torsione. Si tratta in questo caso di determinare il termine di ordine immediatamente superiore nello sviluppo asintotico dell’energia mediante Γ-convergenza.
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Travi elastiche martensitiche

A partire dalla teoria dell'elasticità nonlineare tridimensionale si vuole derivare una teoria monodimensionale che descriva il comportamento di una trave sottile costituita da un materiale di tipo martensitico. Formulando il problema in ambito variazionale, si tratta di studiare il limite (nel senso della Γ-convergenza) del funzionale dell'energia elastica tridimensionale, quando lo spessore della trave tende a zero. Il carattere martensitico dell'oggetto si traduce nell'ipotesi che l'insieme dei punti di minimo della densita' di energia sia costituito da due copie fortemente incompatibili di SO(3), cioè sia l'unione di SO(3) con SO(3)H. La matrice H soddisfa opportune condizioni che garantiscono la rigidità del problema tridimensionale.

Principali risultati ottenuti. A partire dalla teoria dell'elasticità nonlineare tridimensionale Mora e Müller hanno derivato un modello monodimensionale per travi sottili costituite da un materiale di tipo multifase in cui la difficoltà risiede nel fatto che per questi materiali la densità di energia elastica ha una struttura a pozzi multipli.
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Film sottili martensitici

Applicazioni di carattere tecnologico, come la costruzione di microattuatori, hanno recentemente incoraggiato lo studio di film sottili martensitici. La mancanza di convessità, tipica dell’energia di questi materiali, costringe le successioni minimizzanti ad oscillare sempre più velocemente, rappresentando matematicamente la formazione di una microstruttura. A partire dalla metà degli anni ’90, alcune teorie sono state sviluppate partendo dall’elasticità tridimensionale. Le metodologie utilizzate hanno prodotto film sottili con densità di energia libera quasi-convessa e perciò non adatta a descrivere il comportamento oscillatorio delle successioni minimizzanti, che può invece essere efficacemente descritto utilizzando le misure di Young. Il nostro approccio, basato sul calcolo di Γ-limiti definiti su spazi di misure di Young, e sviluppato in [Freddi, Paroni, “The energy density of martensitic thin films via dimension reduction”, Interfaces and Free Boundaries, 6 (2004) 439-459] e [Freddi, Paroni, “A 3D-1D Young measure theory of an elastic string”, Asymptotic Analysis, 39 n.1, 61-89 (2004)], consente quindi di descrivere la formazione della microstruttura. Il punto di partenza è sempre quello dell’elasticità tridimensionale e tramite la teoria della Γ-convergenza viene dedotto un problema variazionale per la membrana e la corda elastica, scritto in termini di misure di Young. Questo problema limite determina univocamente la densità di energia del film sottile e della corda elastica. Nel caso della membrana il risultato di Γ-convergenza è stato ottenuto nelle usuali ipotesi di crescita "p" dall'alto e dal basso della densità di energia, mentre nel caso della corda elastica è stato affrontato il problema, più difficile, in cui l'energia tende all'infinito quando il volume tende localmente a zero, ipotesi che impedisce compenetrazione di materia. All'interno del progetto si intende affrontare, in queste ipotesi fisicamente più ragionevoli ma matematicamente più scomode, il problema della membrana.
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Film sottili di materiale ferromagnetico dolce

Si intende studiare la riduzione dimensionale 3D-2D per film di materiale ferromagnetico dolce, utilizzando tecniche di Γ-convergenza per la derivazione di modelli bidimensionali semplificati a partire dalla teoria del micromagnetismo.
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Film sottili periodici di materiale auto-assemblante

L’auto-assemblaggio molecolare è un metodo potente per l’assemblaggio, con una precisione atomica, di materiali e nano-strutture. Le proprietà auto-assemblanti rendono queste strutture di grande interesse tecnologico. Intendiamo studiare il comportamento meccanico di film sottili di silicio con dei pori disposti su un reticolo cubico a corpo centrato (bcc). Questi film sottili vengono creati attraverso un processo di evaporazione, di auto-assemblaggio e di pirolisi. Risultano avere una struttura periodica tridimensionale simile a quella dei cristalli a corpo centrato, con dimensioni dell’unità cubica del reticolo (circa 13nm) molto più grandi di quelle degli ordinari cristalli. A differenza di questi i film hanno dei pori (circa 4nm in diametro), distribuiti in una matrice di silicio, al posto degli atomi (circa 0.1-0.2 nm in diametro). Un modello meccanico di queste strutture può, probabilmente, essere ottenuto seguendo le tecniche utilizzate da Freddi e Paroni in “The energy density of martensitic thin films via dimension reduction”, Interfaces and Free Boundaries, 6 (2004) 439-459 e in “A 3D-1D Young measure theory of an elastic string”, Asymptotic Analysis, 39 n.1, 61-89 (2004).

Principali risultati ottenuti. Il problema è stato modellato e sostanzialmente risolto attraverso tecniche di riduzione dimensionale e omogeneizzazione da Braides, Freddi, Paroni e Solci. I risultati saranno pubblicati nell’immediato futuro.
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Micromembrane lipidiche multistrato

Si propone una ricerca sulla modellazione matematica del comportamento meccanico di micromembrane lipidiche multistrato (GUV, Giant Unilamellar Vescicles). Queste sono miscele ternarie di lipidi sfingomielinici e fosfatilcoline dioleiche insieme a colesterolo. Le superfici di tali membrane, nelle loro configurazioni osservabili a forma di sfera, sono state ritenute praticamente omogenee fino a poco tempo fa. In realtà, al variare della pressione osmotica, si è recentemente visto che le GUV esibiscono configurazioni naturali mai osservate prima in natura [T. Baumgart, S.T. Hess, and W. Webb, Imaging coexhisting fluid domains in biomembrane models coupling curvature and line tension“, Nature, 425, p.821]. Queste esibiscono scostamenti sensibili rispetto alla geometria sferica iniziale e presentano la formazione di protuberanze lenticolari in superficie. La ricerca è volta a prevedere ed analizzare le osservazioni sperimentali sulle GUV. In particolare le osservazioni sopra descritte possono ricondurre il fenomeno alla manifestazione di configurazioni metastabili di un guscio sottile retto da un’energia non convessa (minimi locali raggiunti in conseguenza di fenomeni di biforcazione). Una nuova teoria di campo per continui strutturati potrebbe risultare di utile ausilio nella modellazione tridimensionale [T. J. Healey and E. Montes Pizzarro, “Global bifurcation in nonlinear elasticity with an application to barrelling of cylinders”, J. Elasticity, in press], mentre procedure di Γ-convergenza [Freddi, Paroni, “The energy density of martensitic thin films via dimension reduction&rdquo:, Interfaces and Free Boundaries, 6 (2004) 439-459] potrebbero utilmente essere applicare per ottenere l’energia della membrana sottile dal modello tridimensionale. Nuove tecniche per lo studio della biforcazione dell’equilibrio in continui con transizione di fase [T.J. Healey, “Global continuation in displacement problems of nonlinear elastostatics”, Arch. Rat. Mech. Anal. 152, 2000, p. 273] possono risultare utili per la previsione dell’insorgenza delle configurazioni non simmetriche con bolle osservate sperimentalmente.

Principali risultati ottenuti. Sul problema è stata svolta una notevole mole di lavoro come testimoniano i lavori elencati in preparazione. Una tesi di dottorato sull’argomento h stata sviluppata da Giuseppe Zurlo.
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Piastrine multistrato con tensione residua

Si propone di proseguire e ampliare lo studio di stati di coazione in piastrine multistrato costituite da un substrato di silicio sulle quali, con tecniche di fotolitografia, viene realizzata una microstruttura in nitruro di silicio, condotto in [E. Benvenuti, R. Rizzoni, A. Tralli, V. Guidi, C. Malagù, G. Martinelli, M. Stefancich, D. Vincenzi, Identification of internal residual stress parameters in silicon/silicon nitride bilayers for implementation of a crystalline micro-undulator, Atti del XVI Congresso Nazionale AIMETA, Ferrara, settembre 2003]. L’impiego di queste strutture si prevede rilevante per applicazioni che impiegano il channeling di fasci di particelle ad alta energia. Il problema che si intende studiare riguarda lo studio del comportamento asintotico di una giunzione tra una piastra sottile (il substrato di silicio), e una membrana di materiale elastico lineare con stress residuo (il ricoprimento in nitruro di silicio). In quest’ottica un articolo rilevante è [R. Paroni, “Theory of linearly elastic residually stressed plate”, in stampa su Mathematics and mechanics of solids].

Principali risultati ottenuti. Il problema è stato affrontato e in parte risolto da Paroni e Rizzoni. I risultati sono stati presentati al symposium “The rational modeling of materials and structures” tenutosi a Reggio Calabria dal 29 Giugno al 3 Luglio 2005.
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Danneggiamento di strutture elastiche: fratture e snervamento plastico

L'analisi del comportamento asintotico di integrali del Calcolo delle Variazioni dipendenti da funzioni vettoriali con discontinuità libere consente di modellare energie di strutture sottili danneggiate. Modelli variazionali di sbarre e piastre elastoplastiche sono stati ottenuti effettuando una rigorosa analisi asintotica del comportamento di corpi elastici spessi microfratturati [D. Percivale, F. Tomarelli, “Scaled Korn-Poincarè inequality in BD and a model of elastic plastic cantilever, Asymptotic Analysis”, 23 (2000), 291-311, e “From SBD to SBH: the elastic plastic plate, Interfaces and Free Boundaries, 4 (2002), 1-29, e “From special bounded deformation to special bounded hessian: the elastic-plastic beam”, Quaderni Dip. Matematica Politecnico Milano, 551/P (2003), 1-41]. In questa formulazione, l'energia associata al modello di frattura coesiva di Barenblatt è ambientato nella classe di funzioni vettoriali a deformazione speciale limitata (SBD), mentre l'energia di deformazione elastoplastica della struttura sottile dipende da spostamenti trasversali appartenenti alla classe delle funzioni scalari con Hessiano misura speciale nel senso di De Giorni (SBH). L'esistenza di soluzioni per i problemi di minimo associati a tali energie ([F. Colombo, F. Tomarelli, “Boundary value problems and obstacle problems for elastic bodies with free damage”, in stampa]) sono basate su opportune condizioni di carico sicuro come è naturale nel contesto dei funzionali a crescita lineare (e.g. superfici minime). Problemi aperti connessi sono: proprietà di regolarità dei minimi, condizioni sui dati che assicurano l'esistenza di soluzioni senza fratture o linee di snervamento plastico, esempi espliciti di minimi con fratture o con insieme di plasticizzazione non vuoto.

Principali risultati ottenuti. Risultati su questo tema sono stati ottenuti e pubblicati da Tomarelli e Percivale
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Evoluzione quasi-statica di fratture in materiali elasto-plastici

Nel lavoro [G. Dal Maso, R. Toader: A model for the quasi-static growth of brittle fractures: existence and approximation results. Arch. Ration. Mech. Anal. 162 (2002), no. 2, 101—135] viene data una precisa formulazione matematica per un modello variazionale per l'evoluzione quasi-statica, irreversibile di una frattura fragile, proposto da Francfort e Marigo, e basato sulla teoria di Griffith per la crescita delle fratture. Nel caso bidimensionale si dimostra un risultato di esistenza dell'evoluzione quasi-statica e si prova che l'energia totale è una funzione assolutamente continua del tempo, anche se l'energia di volume e l'energia di superficie potrebbero presentare dei salti. Il risultato di esistenza è dimostrato usando un procedimento di discretizzazione del tempo, dove ad ogni passo si cerca un minimo globale dell'energia, con il vincolo che la nuova frattura contenga tutte le fratture formate nei tempi precedenti. Si ottiene in questo modo un'approssimazione effettiva dell'evoluzione continua. Questo risultato è stato esteso al caso dell'elasticità finita, in presenza di carichi di volume e di superficie dipendenti dal tempo [G. Dal Maso, G. Frankfort, R. Toader: Quasistatic crack growth in finite elasticity, preprint 2004]. Ci proponiamo di studiare l'evoluzione quasi-statica di fratture in materiali elasto-plastici.
Principali risultati ottenuti. L’evoluzione quasi-statica del problema elasto-plastico è stato affrontato con successo da Dal Maso, De Simone e Mora, mentre Dal Maso, Francfort e Toader hanno studiato l’evoluzione quasi-statica della frattura in materiali fragili.
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Discreto-continuo: modellazione del comportamento plastico

Teorie continue per le transizioni di fase sono state ottenute rigorosamente partendo da dei modelli atomici attraverso l’uso della Γ-convergenza facendo tendere il numero d’atomi all’infinito.

Si propone di estendere queste tecniche e problematiche al problema della plasticita’, S’intende quindi impostare un modello discreto sulle orme del lavoro di Ortiz e Repetto “Nonconvex energy minimization and dislocation structures in ductile single crystals”, J. Mech. Phys. Solids 47 (1999), 397—462, e ottenere il limite continuo. Questa analisi, oltre a porre interessanti problemi matematici, dovrebbe condurre alla deduzione della energia macroscopica a partire dai potenziali interatomici.
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Approssimazioni numeriche in problemi con discontinuità libere

In anni precedenti sono stati studiati [C. Davini, I., Pitacco, Relaxed notions of curvature and a lumped strain method for elastic plates. SIAM J. Numer. Anal. 35 (1998), no. 2, 677—691] vari metodi di approssimazione, con funzioni affini a tratti, di problemi ellittici della teoria delle strutture. Il metodo, originariamente sviluppato per corpi monodimensionali ed applicato per affrontare problemi di identificazione del danneggiamento di travi in vibrazioni assiali e fllessionali, è stato esteso al caso delle piastre isotrope appoggiate. Il metodo è stato anche discusso per il problema biarmonico sotto varie condizioni al contorno e ne è stata studiata la relazione con la teoria della Γ-convergenza. Sempre in questo ambito si è studiato la piastra anisotropa e, più in generale, problemi variazionali non-lineari che coinvolgono l’Hessiano [C. Davini, R. Paroni, “Generalized Hessian and External Approximations in Variational Problems of Second Order”,

J. Elasticity 70 (2003) 149-174]. Recentemente si e’ considerato il problema di Poisson; qui si cercano approssimazioni con funzioni costanti a tratti. Si propone di estendere la tecnica di approssimazione a funzionali non-lineari dipendenti dal gradiente e di fare numerose applicazioni numeriche.

Principali risultati ottenuti. Davini e Paroni hanno formulato, in un lavoro sottoposto, un’approssimazione del problema non lineare di Poisson e, in un lavoro in preparazione, stanno stimando la velocità di convergenza del metodo proposto.
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Descrizione delle iniziative intraprese

Il progetto ha avuto inizio nel Giugno del 2004 ed è giunto a scadenza nel Giugno 2005. Il 15-16 Ottobre 2004 il gruppo si è riunito in un Mini-Workshop a Udine. Durante l’incontro ci sono stati 6 interventi e ampie discussioni sui temi di ricerca riguardanti il progetto. Ciò ha favorito la nascita e lo sviluppo di collaborazioni scientifiche realizzate in diversi incontri come testimoniano, in parte, le missioni rimborsate dall’INDAM. Alcuni dei risultati ottenuti sono stati esposti in particolare nel convegno organizzato dal gruppo stesso ad Alghero dal 10 al 14 Maggio 2005 sul tema“Mathematical modeling in continuum mechanis and structures”. La discussione è stata arricchita dai contributi di vari ricercatori italiani e stranieri esterni al gruppo.